cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau AB=6a, AC=7a, AD=4a. gọi M,N,P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD,DB. tính thể tích của tứ diện AMNP

Đáp án:

$V_{AMNP}=7a^3$

Giải thích các bước giải:

$V_{ABCD}=\dfrac13.AD.\dfrac12.AB.AC=\dfrac16.AB.AC.AD=\dfrac16.6a.7a.4a=28a^3$

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

$\dfrac{V_{DAPN}}{V_{DABC}}=\dfrac{DA}{DA}.\dfrac{DP}{DB}.\dfrac{DN}{DC}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$

$\Rightarrow V_{DAPN}=\dfrac14.V_{DABC}$

$\dfrac{V_{BAPM}}{V_{BADC}}=\dfrac{BA}{BA}.\dfrac{BP}{BD}.\dfrac{BM}{BC}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$

$\Rightarrow V_{BAPM}=\dfrac14.V_{BADC}$

$\dfrac{V_{CAMN}}{V_{CABD}}=\dfrac{CA}{CA}.\dfrac{CM}{CB}.\dfrac{CN}{CD}=\dfrac12.\dfrac12=\dfrac14$

$\Rightarrow V_{CAMN}=\dfrac14.V_{CABD}$

$\Rightarrow V_{APMN}=V_{ABCD}-V_{DAPN}-V_{BAPM}-V_{CAMN}$

$=V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}-\dfrac14V_{ABCD}$

$=V_{ABCD}-\dfrac34V_{ABCD}=\dfrac14V_{ABCD}=\dfrac{28a^3}4=7a^3$