Cho các phương trình $x^{2}$ + ax + b = 0 và $x^{2}$ + bx + a = 0, trong đó $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm

Đáp án:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

x2+ax+b=0(1)   có Δ=a2−4b

 x2+bx+a=0(2)  có Δ=b2−4a

 Ta cần chứng minh Δ1 ≥hoặc Δ2≥0 

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

Δ1=a2−4b<0 và Δ2=b2−4a<0⇒Δ1+Δ2=(a2−4b)+(b2−4a)=a2+b2−4(b+a)<0(∗)

Từ giả thiết ta có 1/a+1/b=1/2⇔a+b=1/2ab  vì a và b khác 0

Suy ra: Δ1+Δ2=a2+b2−4.1/2ab=a2+b2−2ab=(a-b)^2≥0

=> Điều giả sử sai

Điều này chứng tỏ (∗)không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra 

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

Giải thích các bước giải: