Chứng minh rằng nếu $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd$ và a,b,c,d là các số dương thì a = b = c = d. LÀM 2 CÁCH

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

cách 1

ta có:a^4+b^4>=2(ab)^2
c^4+b^4>=2(cd)^2
cộng hai vế lai ta có:
a^4+b^4+c^4+d^4>=2[(ab)^2+(cd)^2]
>=4abcd
Để a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd thì :
+) a^4+b^4=2(ab)^2
<->(a^2-b^2)^2=0-->a^2=b^2-->a=b(1)
+)c^4+b^4=2(cd)^2
<->(c^2-d^2)^2=0-->c^2-d^2=0-->c=d(2)
+)a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
<->a^4+c^4=2*(ac)^2
<->(a^2-c^2)^2=0-->a^2=c^2-->a=c(3)
từ (1)(2)(3)-->a=b=c=d(ĐPCM)

cách2

a4+b4+c4+d4=4abcda4+b4+c4+d4=4abcd

⇔a4−2a2b2+b4+c4−2c2d2+d4=4abcd−2a2b2−2c2d2⇔a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2

⇔(a2−b2)2+(c2−d2)2+2(a2b2−2abcd+c2d2)≥0⇔(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(a2b2-2abcd+c2d2)≥0

⇔(a2−b2)2+(c2−d2)2+2(ab−cd)2=0⇔(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0

Vì VT≥0∀a,b,c,dVT≥0∀a,b,c,d

Dấu "=" xảy ra khi a2=b2,c2=d2,ab=cda2=b2,c2=d2,ab=cd

⇔a=b=c=d

bạn xem đk nha