Cho tam giác ABC và H là trực tâm .Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D .a)Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành b)Tính số đo góc BDC,biết góc BAC= 60 độ

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a)

Do $\text{H}$ là trực tâm tam giác $\text{ABC}$ nên $\text{BH ⊥ AC, CH ⊥ AB.}$

Mà $\text{BD ⊥ AB, CD ⊥ AC}$.

=> $\text{BH//CD, CH//BD.}$

Xét tứ giác $\text{BDCH}$ có:  

$\text{BH//CD, CH//BD.}$

=> tứ giác $\text{BDCH}$ là hình bình hành.

b)

Xét tam giác $\text{ABC}$ có:

$\text{$\widehat{BAC}$ = $180^o$ − $\widehat{ABC}$ − $\widehat{ACB}$}$

$\text{= $180^o$ − ($90^o$ − $\widehat{CBD}$) − ($90^o$ − $\widehat{BCD}$)}$

$\text{= $\widehat{CBD}$ + $\widehat{BCD}$}$

Xét tam giác $\text{BDC}$ có:

$\text{$\widehat{CBD}$ + $\widehat{BCD}$ + $\widehat{BDC}$ = $180^o$}$

$\text{$\Leftrightarrow$ $\widehat{CBD}$ + $\widehat{BCD}$ = $180^o$ − $\widehat{BDC}$}$

=> $\text{$\widehat{BAC}$ = $180^o$ − $\widehat{BDC}$}$

$\text{$\Leftrightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BDC}$ = $180^o$}$

c) 

Vì tứ giác $\text{BDCH}$ là hình bình hành 

=> $\text{BC}$ cắt $\text{DH}$ tại trung điểm mỗi đường. 

Mà $\text{M}$ là trung điểm $\text{BC}$ nên $\text{M}$ là trung điểm $\text{DH.}$

=> $\text{M, D, H}$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy $\text{M, D, H}$ thảng hàng.