Chứng minh rằng √3 là số vô tỷ

Đơn giản.

Giả sử phản chứng rằng $\sqrt{3}$ là một số hữu tỉ. Khi đó, nó có thể viết được dưới dạng là một phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tức là

$$\sqrt{3} = \dfrac{a}{b}$$

Đẳng thức trên tương đương vs

$$a^2 = 3b^2$$

Do 3 là một số nguyên tố nên $a$ phải chia hết cho 3. Đặt $a = 3k (k \in \mathbb{Z}$. Khi đó, thay lại a vào đẳng thức trên ta thu được

$$b^2 = 3k^2$$

Lập luận tương tự như trên, $b$ cũng chia hết cho 3.

Theo hai kết luận trên, $a$ và $b$ đều chia hết cho 3. Điều này là vô lý do phân số $\dfrac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Vậy giả sử phản chứng là sai.

Do đó $\sqrt{3}$ ko phải một số hữu tỉ nên nó là một số vô tỷ.