Số hạng không chứa `x` trong kết quả khai triển `(x^2 +1/x - 1)^10` là bao nhiêu ?

Đáp án:

$1951$

Giải thích các bước giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^2 + \dfrac1x - 1\right)^{10}$ có dạng:

$\quad C_{10}^k(x^2)^{10-k}\left(\dfrac1x - 1\right)^{k}$

$= C_{10}^kx^{20-2k}\left[C_{k}^{i}\left(\dfrac1x\right)^{k-i}(-1)^i\right]$

$= (-1)^iC_{10}^kC_{k}^ix^{20-3k+i}\quad (0\leqslant i\leqslant k\leqslant 10;\ i,k\in\Bbb N)$

Số hạng không chứa $x$ ứng với hệ phương trình:

$\begin{cases}20 - 3k + i = 0\\0\leqslant i\leqslant k\leqslant 10\\i\in\Bbb N\\k\in\Bbb N\end{cases}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}k=10\\i=10 \end{cases}\\\begin{cases}k=9\\i=7 \end{cases}\\\begin{cases}k=8\\i=4 \end{cases}\\\begin{cases}k=7\\i=1 \end{cases}\end{array}\right.$

Vậy số hạng không chứa $x$ là:

$(-1)^{10}C_{10}^{10}C_{10}^{10} + (-1)^{7}C_{10}^9C_9^7 + (-1)^4C_{10}^8C_8^4 + (-1)C_{10}^7C_7^1= 1951$