Cho 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình d1:x+y=1 và d2:x-3y+3=0. Hãy viết phương trình đường d đối xứng với d2 qua đường thẳng d1.

Đáp án:

Phương trình đường thẳng d là: 3x-y+1=0.

Lời giải:

Gọi (d1)∩(d2)= A

Tọa độ A là nghiệm của hệ: $\left \{ {{x+y=1} \atop {x-3y+3=0}} \right.$ ⇒A(0;1)

Lấy B(-3;0) ∈ (d2)

Gọi H(a;1-a) là hình chiếu vuông góc của B lên (d1)

Đường thẳng BH đi qua B(-3;0), có vecto chỉ phương $\vec n=\vec u{_{d_1}}=(1;-1)$

Phương trình đường thẳng BH là: $x+3-y=0$

$H\in d_1\cap BH\Rightarrow$ tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{I}x+y=1\\x+3-y=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{I}x=-1\\y=2\end{array}\right.$

$⇒H(-1;2)$ 

Gọi B' là điểm đối xứng của B qua $d_1$, khi đó B' là điểm đối xứng của B qua H

⇒ H là trung điểm BB' ⇒ $B'( 1;4)$ 

⇒ đường thẳng d đi qua A(0;1) và B'( $1;4)$ $\rightarrow \vec AB'=(1;3)$

$\to\vec n_d=(3;-1)$

Phương trình đường thẳng d là: 3x-y+1=0.