Cho (O;R) và điểm S nằm ngoài đường tròn.Từ S kẻ 2 tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SMN với đường tròn. a) CM: SO vuông góc AB b)Gọi H là giao SO và AB, I là trung điểm MN, OI và AB cắt nhau tại E CM: I,H,S,E cùng thuộc đường tròn c) CM: OI.OE=2R

a) Ta có: $SA=SB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $S$ thuộc đường trung trực của AB

Ta lại có: $OA=OB$ $(=R)$ nên $O$ thuộc đường trung trực của AB

Vậy SO là đường trung trực của AB

Hay $SO\bot AB$

b) Ta có: $SO\bot AB$ tại H (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow \widehat{SHE}=90^o$

Ta lại có $I$ là trung điểm của MN nên $OI\bot MN$ (quan hệ đường kính và dây cung)

$\Rightarrow\widehat{SIE}=90^o$

$\Rightarrow\widehat{SHE}$ và $\widehat{SIE}$ cùng nhìn cạnh SE dưới một góc là $90^o$

$\Rightarrow I, H, S, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính (SE)

c) Từ câu b suy ra $\widehat{ISO}=\widehat{HEI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HI)

Xét $\Delta ISO$ và $\Delta HEO$ có:

$\widehat{ISO}=\widehat{HEO}$ (chứng minh trên)

$\widehat{SIO}=\widehat{EHO}=90^o$

$\Rightarrow\Delta ISO\sim\Delta HEO$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OS}{OE}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow OI.OE=OS.OH$ (1)

$\Delta AOS\sim\Delta HOA$ (g.g) ($\widehat{O}$ chung, $\widehat{OAS}=\widehat{OHA}=90^o$)

$\Rightarrow \dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OS}{OA}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow OA^2=OH.OS$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OI.OE=OA^2=R^2$ (đpcm)