Bài 4 (3, 5 điểm): Cho hình thang cân ABCD ( AB < CD); AB // CD và AB = AD. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E. Biết ED = 15cm và DC = 10 cm a.CM: DB là tia phân giác của góc ADC. b.Tính BE và BC. c.Đường thẳng song song với đáy AB cắt các đoạn thẳng AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, Q, N, P. CM: DN/BD=CP/AC d.CM : MN = PQ.

a. Ta có AD=AB ⇒ ΔABD cân A ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ABD}$

mà $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (AB//CD hai góc ở vị trí so le trong)

⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$

⇒ BD là phân giác $\widehat{ADC}$

b. Xét ΔEAB có $\widehat{EAB}=\widehat{EBA}$ (đồng vị với 2 góc bằng nhau)

⇒ ΔEAB cân E ⇒ AE=BE hay DE=EC=15

Áp dụng đinh lý ta lét có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
EB + BC = 15\\
\dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}
\end{array} \right.
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{EB}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{15 - BC}}{{15}} = \dfrac{{BC}}{{10}}\\
EB = 15 - BC
\end{array} \right.
 \to \left\{ \begin{array}{l}
BC = 6\\
EB = 9
\end{array} \right.
\end{array}\)

c. Áp dụng định lý ta-lét vào hình thang cân ABCD và ΔABD và ΔABC có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\\
\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{DM}}{{AD}}\\
\dfrac{{CP}}{{AC}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}
\end{array} \right.
 \to \dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}} (đpcm)
\end{array}\)

d. Do \(\dfrac{{DN}}{{DB}} = \dfrac{{CP}}{{AC}}\) mà AC=BD (do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành)

⇒ DN=CP (1)

Do: \(\dfrac{{DM}}{{AD}} = \dfrac{{CQ}}{{BC}}\) mà AD=BC (do $ABCD$ là hình thang cân)

⇒ DM=CQ (2)

CMTT câu a ta đc AC là phân giác góc BCD

và $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

⇒ $\widehat{MDN}=\widehat{PCQ}$ (3)

Từ (1); (2) và (3)

⇒ ΔNMD=ΔPQC (c.g.c)

⇒ MN=PQ (đpcm)