Cho tam giác ABC có chu vi 20cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC lần lượt cắt AB tại M, AC tại N. Biết MN=2,4cm. Tính BC

Đáp án: $BC=4$ hoặc $BC=6$

Giải thích các bước giải:

Gọi $D, H, G$ là tiếp điểm của $(O)$ với $BC, AC, AB$

         $OD\cap MN=F$

$\to OD\perp BC, OG\perp AB, OH\perp AC$

Vì $MN//BC$

$\to OD\perp M$N

$\to OF\perp MN$

Ta có:

$AG, AH$ là tiếp tuyến của $(O)\to AG=AH$

Tương tự: $BG=BD, CH=CD$

Vì $MG, MF$ là tiếp tuyến của $(O)\to MG=MF$

      $NF, NH$ là tiếp tuyến của $(O)\to NF=NH$

Ta có: $MN//BC$

$\to \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN+AM+AN}{BC+AB+AC}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{MN+AM+AN}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{MF+FN+AM+AN}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AM+MF+FN+AN}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AG+AH}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{(AB-BG)+(AC-CH)}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AB+AC-(BG+CH)}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AB+AC-(BD+DC)}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AB+AC-BC}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{AB+AC+BC-2BC}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{20-2BC}{20}$

$\to \dfrac{2.4}{BC}=\dfrac{10-BC}{10}$

$\to 10BC-BC^2=24$

$\to BC^2-10BC+24=0$

$\to (BC-4)(BC-6)=0$

$\to BC=4$ hoặc $BC=6$