Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng SC, SD, AD . Biết thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP

Đáp án: $V_{AMNP}=\dfrac1{16}V$

Giải thích các bước giải:

Gọi $E$ là trung điểm $BC\to PE//AB//CD$ vì $P$ là trung điểm $AD, ABCD$ là hình bình hành

$\to PECD$ là hình bình hành $\to PE=CD$

Ta có $M,N$ là trung điểm $SC, SD$

$\to MN$ là đường trung bình  $\Delta SCD$

$\to MN=\dfrac12CD=\dfrac12PE, MN//CD\to MN//PE\to\widehat{NMP}=\widehat{MPE}$

Mà $S_{MNP}=\dfrac12\cdot MN\cdot MP \cdot \sin\widehat{NMP}$

      $S_{MPE}=\dfrac12\cdot PE\cdot MP\cdot \sin\widehat{MPE}$

$\to S_{MNP}=\dfrac12S_{MEP}$

Lại có $MN//PE\to d(A, MNP)=d(A, MPE)$

$\to V_{AMNP}=\dfrac12V_{AMPE}$

Ta có $M$ là trung điểm $SC\to d(M,ABCD)=\dfrac12d(S,ABCD)$

Mà $S_{APE}=\dfrac12S_{ABEP}=\dfrac14S_{ABCD}$

$\to V_{MAEP}=\dfrac18V_{SABCD}=\dfrac18V$

$\to V_{AMNP}=\dfrac1{16}V$