Trong mặt phẳng Oxy cho A(0;1),B(4;5) a)Tìm trên trục hoành điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C b)Tính diện tích tam giác ABC c)Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành d)Tìm tọa độ chân đường cao xuất phát từ đỉnh A e)Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc B trong tam giác ABC

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

\(a.C \in Ox \to C\left( {x;0} \right)\)

Do ΔABC cân C

⇒AC²=BC²

Có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC}  = \left( {x; - 1} \right) \to A{C^2} = {x^2} + 1\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {x - 4; - 5} \right) \to B{C^2} = {x^2} - 8x + 16 + 25\\
 \to {x^2} + 1 = {x^2} - 8x + 16 + 25\\
 \to x = 5\\
 \to C\left( {5;0} \right)
\end{array}\)

b. Gọi H là trung điểm AB 

\(\begin{array}{l}
 \to H\left( {2;3} \right)\\
 \to \overrightarrow {CH}  = \left( { - 3;3} \right) \to AH = 3\sqrt 2 \\
\overrightarrow {AB}  = \left( {4;4} \right) \to AB = 4\sqrt 2 \\
 \to {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.CH = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .3\sqrt 2  = 12\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}\)

c. Gs D(x;y)

Do ABCD là hình bình hành

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \\
\overrightarrow {AB}  = \left( {4;4} \right)\\
\overrightarrow {DC}  = \left( {5 - x; - y} \right)\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
5 - x = 4\\
 - y = 4
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 4
\end{array} \right.\\
 \to D\left( {1; - 4} \right)
\end{array}\)

d.  Gọi H(a;b) là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A

\(\begin{array}{l}
 \to \overrightarrow {AH}  = \left( {a;b - 1} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 5} \right)\\
 \to \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \to a - 5b + 5 = 0(1)
\end{array}\)

Pt đt BC qua B và có vtpt \(\overrightarrow n  = \left( {5;1} \right)\)

⇒5(x-4)+y-5=0⇒5x+y-25=0

Do H∈BC

⇒5a+b-25=0(2)

Từ (1) và (2) giải hpt ta đc:

\(H\left( {\frac{{60}}{{13}};\frac{{25}}{{13}}} \right)\)