Cho hai điểm A,B và một đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau 1) A,B nằm khác phía với d 2) A,B nằm cùng phía với d

Đáp án:

$a)M$ là giao của $(d)$ và $AB$

$b)M$ là giao của $(d)$ và $A'B$ với $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(d).$

Giải thích các bước giải:

$a)\circledast A,B,M$ không thẳng hàng

$ABM$ là tam giác $\Rightarrow MA+MB>AB$

$\circledast A,B,M$ thẳng hàng

$\Rightarrow MA+MB=AB$

$\Rightarrow MA+MB \ge AB$

Dấu "=" xảy ra khi $A,B,M$ thẳng hàng hay $M$ là giao của $(d)$ và $AB$

$b)$Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $(d)$

$\Rightarrow (d)$ là trung trực của $AA'$

$M \in (d) \Rightarrow MA=MA'$

$MA+MB=MA'+MB$

$\circledast A',B,M$ không thẳng hàng

$A'BM$ là tam giác $\Rightarrow MA'+MB>A'B$

$\circledast A',B,M$ thẳng hàng

$\Rightarrow MA'+MB=A'B\\ \Rightarrow MA'+MB \ge A'B\\ \Leftrightarrow MA+MB \ge A'B$

Dấu "=" xảy ra khi $A',B,M$ thẳng hàng hay $M$ là giao của $(d)$ và $A'B$ với $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(d).$