cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh: DE3=BD.CE.BC

Đáp án:

`DE^3=BD.CE.BC`

Giải thích các bước giải:

Xét tứ giác `ADHE` có:

$\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$

⇒`ADHE` là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

⇒`AH=DE` (tính chất đường chéo trong hình chữ nhật).

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔABC` có $\widehat{BAC}=90^0$`,AH\botBC` ta được:

`AH^2=BH.CH`

⇔`(AH^2)^2=(BH.CH)^2`

⇔`AH^4=BH^{2}.CH^2`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔAHC` có $\widehat{AHC}=90^0$`,HE\botAC` ta được:

`CH^2=AC.CE`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔAHB` có $\widehat{AHB}=90$`,HD\botAB` ta được:

`BH^2=AB.BD`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔABC` có $\widehat{BAC}=90^0$`,AH\botBC` ta được:

`AH.BC=AB.AC`

Ta có:

`AH^4=BH^{2}.CH^2`

⇔`AH^4=AB.BD.AC.CE`

⇔`AH^4=AB.AC.BD.CE`

⇔`AH.AH^3=AH.BC.BD.CE`

⇔`AH^3=BD.CE.BC`

⇔`DE^3=BD.CE.BC` `(AH=DE)`

Vậy `DE^3=BD.CE.BC` (ĐPCM).