Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D thuộc BC) a) Chứng minh BA = BD. b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh △ABC = △DBE c) Kẻ DH ⊥ MC ( H∈MC) và AK ⊥ ME ( K∈ME). Gọi N là giao điểm của DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác của góc HMK. d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng. làm giúp em với ạ cảm ơn a chị nhiều và hứa cho 5 sao !

a) Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta DBM$ có:

$BM$ chung

$\widehat{ABM}=\widehat{DBM}$ (do $BM$ là phân giác $\widehat B$)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DBM$ (cạnh huyền- góc nhọn)

$\Rightarrow BA=BD$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét 2 tam giác vuông $\Delta ABC$ và $\Delta DBE$ có:

$BA=BD$ (chứng minh ở câu a)

$\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DBE$ (cạnh góc vuông- góc nhọn)

c) Xét 2 tam giác vuông $\Delta AMK$ và $\Delta DMH$ có:

$AM=DM$ (hai cạnh tương ứng do $\Delta ABM=\Delta DBM$)

$\widehat{AMK}=\widehat{DMH}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta AMK=\Delta DMH$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow MK=MH$ (hai cạnh tương ứng)

Xét 2 tam giác vuông $\Delta MNK$ và $\Delta MNH$ có:

$MK=MH$ (cmt)

$MN$ chung

$\Rightarrow \Delta MNK=\Delta MNH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow\widehat{MNK}=\widehat{MNH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow NM$ là tia phân giác của $\widehat{HNK}$ (đpcm) (1)

d) Do $AK=DH$ (hai cạnh tương ứng $\Delta AMK=\Delta DMH$)

$KN=HN$ (hai cạnh tương ứng $ \Delta MNK=\Delta MNH$)

$\Rightarrow AN=AK+KN=DH+HN=DN$

Xét $ \Delta ABN$ và $\Delta DBN$ có:

$AB=DB$ (cmt)

$BN$ chung

$AN=BN$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta ABN=\Delta DBN$ (c.c.c)

$\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{DNB}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow NB$ là tia phân giác $\widehat{AND}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B, M, N$ thẳng hàng.