Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ ,tổng của ba số hạng đầu tiên của nó là $\frac{39}{25}$ . Sống hạng đầu của cấp số nhân đó là?

Đáp án:

\(\left\{ \begin{array}{l}
q = \frac{2}{5}\\
{u_1} = 1
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

Gọi  \({u_1}\) là số hạng đầu của CSN lùi vô hạn với công bội \(q\)

Tổng của CSN lùi vô hạn được tính bằng công thức: \({S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Theo giả thiết ta có hệ pt:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{5}{3}\\
{u_1} + {u_2} + {u_3} = \frac{{39}}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right)\\
{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = \frac{{39}}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right)\\
\frac{5}{3}\left( {1 - q} \right)\left( {1 + q + {q^2}} \right) = \frac{{39}}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right)\\
\frac{5}{3}\left( {1 - {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{3}\left( {1 - q} \right)\\
1 - {q^3} = \frac{{117}}{{125}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
q = \frac{2}{5}\\
{u_1} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)