Cho tứ giác ABCD và 1 điểm I thuộc miền trong của tứ giác .Hãy chứng minh bất đẳng thức sau : a) IA+IB+IC+ID lớn hơn 1/2(AB+BC+CD+DA) b) IA+IB+IC+ID lớn hơn thoặc bằng AC+BD .Dấu bằng xảy r khi nào

a)

Theo bất đẳng thức tam giác:

$\begin{cases}IA+IB>AB\\IB+IC>BC\\IC+ID>CD\\ID+IA>DA\end{cases}$

$\Rightarrow 2\left( IA+IB+IC+ID \right)>AB+BC+CD+DA$

$\Rightarrow IA+IB+IC+ID>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}$

b)

Ta có:$\begin{cases}IA+IC\ge AC\\IB+ID\ge BD\end{cases}$

$\Rightarrow IA+IB+IC+ID\ge AC+BD$

Dấu “=” xảy ra khi đồng thời ba điểm $A,I,C$ thẳng hàng và ba điểm $B,I,D$ thẳng hàng

Hay $I$ là giao điểm của hai đường chéo