Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH. a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH và AH là tia phân giác của góc BAC. b) Cho BH= 8cm, AB= 10cm.Tính AH. c) Gọi E là trung điểm của AC và G là giao điểm của BE và AH.Tính HG. d) Vẽ Hx song song với AC, Hx cắt AB tại F. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a, Xét 2 tam giác vuông ΔABH và ΔACH có:

AH chung; AB = AC (gt)

⇒ ΔABH = ΔACH (ch - cgv) (đpcm)

⇒ $\widehat{BAH}$ = $\widehat{CAH}$

⇒ AH là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (đpcm)

b, ΔAHB vuông tại H

⇒ $AB^2 = AH^2 + BH^2$

⇔ $10^2 = AH^2 + 8^2$

⇔ $AH^2$ = 36 ⇔ AH = 6cm

c, ΔABH = ΔACH (ch - cgv) ⇒ HB = HC

⇒ AH là trung tuyến của ΔABC

ΔABC có AH, BE là các trung tuyến cắt nhau tại G

⇒ G là trọng tâm

⇒ HG = $\frac{1}{3}$AH = $\frac{6}{3}$ = 2cm

d, Ta có $\widehat{FHB}=\widehat{ACB}$ (HF//AC nên đó là hai góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow\widehat{FHB}=\widehat{FCH}\Rightarrow\Delta FBH$ cân đỉnh F

$\Rightarrow FB=FH$ (1)

Ta có: $\widehat{FHA}=\widehat{HAC}$ (HF//AE nên đó là hai góc so le trong)

Lại có: $\widehat{FAH}=\widehat{HAC}$ (cm câu a)

$\Rightarrow \widehat{FHA}=\widehat{FEH}\Rightarrow\Delta FAH$ cân đỉnh F

$\Rightarrow FA=FH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $FA=FB$ (=FH) $\Rightarrow F$ là trung điểm của AB

$\Rightarrow CF$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$AH$ cũng là đường đường trung tuyến vì $HB=HC$ (suy ra từ câu a)

AH,BE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trong tâm

$\Rightarrow CF $ đi qua G

⇒ G, C, F thẳng hàng (đpcm)