P= √x-3/√x-2 + √x-4/√x+3 + 5/x+√x-6 a, Tìm điều kiện xác định b, Tìm x để x=1 và x=19+6 √2 c, Tìm x để P=1/3 d, Tìm x để |P| ≥ P e, Tìm GTNN của P f, Tìm x để P có giá trị nguyên

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a)x \ge 0;x \ne 4\\
b)18 - 12\sqrt 2 \\
c)x = \dfrac{{81}}{{25}}\\
d)0 \le x \le 1\\
e)Min =  - \dfrac{2}{3}\\
f)\left[ \begin{array}{l}
x = 25\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)DK:x \ge 0;x \ne 4\\
b)P = \dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{5}{{x + \sqrt x  - 6}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 5}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{x - 9 + x - 6\sqrt x  + 8 + 5}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{2x - 6\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\
 = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}}\\
Thay:x = 1\\
 \to P = \dfrac{{2\left( {\sqrt 1  - 1} \right)}}{{\sqrt 1  + 3}} = 0\\
Thay:x = 19 + 6\sqrt 2 \\
 = 18 + 2.3\sqrt 2 .1 + 1\\
 = {\left( {3\sqrt 2  + 1} \right)^2}\\
 \to P = \dfrac{{2\left( {\sqrt {{{\left( {3\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {3\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  + 3}}\\
 = \dfrac{{2\left( {3\sqrt 2  + 1 - 1} \right)}}{{3\sqrt 2  + 1 + 3}}\\
 = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2  + 4}}\\
 = 18 - 12\sqrt 2 \\
c)P = \dfrac{1}{3}\\
 \to \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{1}{3}\\
 \to 6\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  + 3\\
 \to 5\sqrt x  = 9\\
 \to \sqrt x  = \dfrac{9}{5}\\
 \to x = \dfrac{{81}}{{25}}\\
d)\left| P \right| \ge P\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
P \ge P\left( {ld} \right)\\
P \le  - P
\end{array} \right.\\
 \to 2P \le 0\\
 \to P \le 0\\
 \to \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} \le 0\\
 \to \sqrt x  - 1 \le 0\left( {do:\sqrt x  + 3 > 0\forall x \ge 0} \right)\\
 \to 0 \le x \le 1\\
e)P = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right) - 8}}{{\sqrt x  + 3}}\\
 = 2 - \dfrac{8}{{\sqrt x  + 3}}\\
Do:\sqrt x  \ge 0\forall x \ge 0\\
 \to \sqrt x  + 3 \ge 3\\
 \to \dfrac{8}{{\sqrt x  + 3}} \le \dfrac{8}{3}\\
 \to  - \dfrac{8}{{\sqrt x  + 3}} \ge  - \dfrac{8}{3}\\
 \to 2 - \dfrac{8}{{\sqrt x  + 3}} \ge  - \dfrac{2}{3}\\
 \to Min =  - \dfrac{2}{3}\\
 \Leftrightarrow x = 0\\
f)P \in Z \to \dfrac{8}{{\sqrt x  + 3}} \in Z\\
 \to \sqrt x  + 3 \in U\left( 8 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  + 3 = 8\\
\sqrt x  + 3 = 4
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  = 5\\
\sqrt x  = 1
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 25\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)