Giải bài này giúp e với ạ

Đáp án:

$f_{\max}= 72 \Leftrightarrow (x;y)= (-9;-1)$

$f_{\min}= -72 \Leftrightarrow (x;y)= (9;1)$

Giải thích các bước giải:

$\quad f(x,y)= \dfrac{1}{27}x^3 + xy^2 - 10x -18y$

Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ:

$\quad \begin{cases}f_x' = 0\\f_y'= 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{1}{9}x^2 + y^2 - 10 = 0\\2xy - 18 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = -9\\y = -1\end{cases}\\\begin{cases}x = -3\\y = -3\end{cases}\\\begin{cases}x = 3\\y = 3\end{cases}\\\begin{cases}x = 9\\y = 1\end{cases}\end{array}\right.$

Đặt $\begin{cases}A = f_{xx}'' = \dfrac29x\\B = f_{xy}'' = 2y\\C = f_{yy}'' = 2x\end{cases}$

$\bullet$ Tại $M_1(-9;-1)$ ta được:

$\begin{cases}A = -2< 0\\B = -2\\C = -18\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -32< 0$

$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực đại tại $M_1(-9;-1);\ f_{\max}= 72$

$\bullet$ Tại $M_2(-3;-3)$ ta được:

$\begin{cases}A = -\dfrac23< 0\\B = -6\\C = -6\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 32> 0$

$\Rightarrow$ Hàm số không đạt cực trị tại $M_2(-3;-3)$

$\bullet$ Tại $M_3(3;3)$ ta được:

$\begin{cases}A =\dfrac23> 0\\B = 6\\C = 6\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 32>0$

$\Rightarrow$ Hàm số không đạt cực trị tại $M_3(3;3)$

$\bullet$ Tại $M_4(9;1)$ ta được:

$\begin{cases}A = 2> 0\\B = 2\\C = 18\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -32< 0$

$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $M_4(9;1);\ f_{\min}= -72$

Vậy $f_{\max}= 72 \Leftrightarrow (x;y)= (-9;-1)$

$f_{\min}= -72 \Leftrightarrow (x;y)= (9;1)$