có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào 1 hàng sao cho không có 2 viên bi nào cùng màu đứng gần nhau

Vì $2$ bi không được đứng gần nhau nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: xếp các viên bi đỏ ở vị trí lẻ ta được $10!$ cách vào $10$ vị trí lẻ.

Tương tự đối với 10 viên bi xanh ở vị trí chẵn ta cũng có với $10!$ cách. 

Theo quy tắc nhân ở trường hợp này ta có $10!^2$ cách xếp.

Trường hợp 2: Xếp các viên bi đỏ ở vị trí lẻ và 10 viên bi xanh vào vị trí chẵn tương tự trường hợp 1 ta cũng có $10!^2$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng số cách xếp các bi đỏ và bi xanh vào 1 hàng sao cho không có 2 bi nào cùng màu đứng cạnh nhau là $10!^2+10!^2=2.10!^2$ cách.