chứng minh rằng với n lẻ thì: n^3+3n^2-n-3 chia hết cho 48

`#Sad`

`n^3+3n^2-n-3`

`= (n^3+3n^2)-(n+3)`

`= n^2(n+3)-(n+3)`

`= (n^2-1)(n+3)`

`= (n-1)(n+1)(n+3)`

`\text{Vì}` `n` `\text{là số lẻ nên:}`

`(n-1)(n+1)` `\text{là tích 2 số chẵn liên tiếp}`

`⇒ (n-1)(n+1) \vdots 8`

`(n-3) \vdots 2`

`⇒ (n-1)(n+1)(n+3) \vdots 8. 2` 

`⇔ n^3+3n^2-n-3 \vdots 16` `(***)`

`\text{Mặt khác:}`

`n^3+3n^2-n-3`

`= (n^3-n)+(3n^2-3)`

`= n(n^2-1)+3(n^2-1)`

`= n(n+1)(n-1)+3(n+1)(n-1)`

`\text{Ta có:}` 

`n(n+1)(n-1)` `\text{là 3 số tự nhiên liên tiếp}`

`⇒ n(n+1)(n-1) \vdots 3`

`3(n+1)(n-1)`  `\vdots 3`

`⇒ n^3+3n^2-n-3` `\vdots 3` `(2***)`

`\text{Mà:}` `(3; 16) = 1`

`\text{Từ}` `(***), (2***)` `\text{ta có:}`

`n^3+3n^2-n-3` `\vdots 3. 16` 

`⇒`  `n^3+3n^2-n-3` `\vdots 48` `\text{(đpcm)}`