Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết hàm số y=f'(x) có đồ thị như trong ảnh. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m thuộc [5;5] để hàm số g(x) =f(x+m) nghịch biến trên khoảng (1;2) . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Đáp án:

Có 5 giá trị nguyên.

Lời giải:

Ta có

$g'(x) = f'(x+m) . (x+m)' = f'(x+m)$

Theo đồ thị thì $f'(x) < 0$ tại các miền $(-\infty, -1)$ và $(1,3)$. Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên các khoảng trên.

Vậy để hàm số $g(x)$ nghịch biến trong khoảng $(1,2)$ thì $g'(x) <0$ hay $f'(x+m)<0$.

Ta có $f'(x) < 0 $ trong các miền $(-\infty, -1)$ và $(1,3)$, do đó, $f'(x+m)<0$ trong các miền

$(-\infty, -1+m), (1+m, 3+m)$

Để hso nghịch biến trên khoảng (1,2) thì 

$(1,2) \subset (-\infty, m-1)$ hoặc $(1,2) \subset (m+1, m+3)$

Vậy

$m-1 \geq 2$ hoặc $m+1 \leq 1$ và $m + 3 \geq 2$

hay

$m \geq 3$ hoặc $-1 \leq m \leq 0$

Do đó, số số nguyên nằm trong [-5,5] thỏa mãn đẳng thức trên là

$-1, 0, 3, 4, 5$

Vậy có 5 giá trị nguyên.