Cho (O;R) đường kính BC. Lấy điểm A trên (O) sao cho AB = R. a/ Tính số đo các góc A, B, C và cạnh AC theo R. b/ Đường cao AH của ABC cắt (O) tại D. Chứng minh: ADC là tam giác đều. c/ Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại E. Chứng minh: EA là tiếp tuyến của (O). d/ Chứng minh: EB . CH = BH . EC.

Giải thích các bước giải:

a, ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC

⇒ ΔABC vuông tại A hay $\widehat{BAC}$ = $90^o$

ΔABO có AB = OA = OB = R
⇒ ΔABO đều ⇒ $\widehat{ABC}$ = $60^o$

ΔABC có $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = $180^o$

mà $\widehat{BAC}$ = $90^o$; $\widehat{ABC}$ = $60^o$

⇒ $\widehat{BCA}$ = $30^o$

ΔABC vuông tại A

⇒ $BC^2 = AB^2 +AC^2$

⇔ $(2R)^2 =R^2 +AC^2$

⇔ AC = R$\sqrt[]{3}$ 

b, ΔAHC vuông tại H có $\widehat{HCA}$ = $30^o$

⇒ $\widehat{CAH}$ = $60^o$ hay $\widehat{CAD}$ = $60^o$

ΔOHA = ΔOHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ HA = HD ⇒ CH là trung tuyến của ΔCAD
ΔCAD có CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao

⇒ ΔCAD cân tại C mà $\widehat{CAD}$ = $60^o$

⇒ ΔCAD đều (đpcm)

c, ΔOHA = ΔOHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{AOH}$ = $\widehat{DOH}$ hay $\widehat{AOE}$ = $\widehat{DOE}$ 

Xét ΔAOE và ΔDOE có:

OA = OD = R; $\widehat{AOE}$ = $\widehat{DOE}$; OE chung

⇒ ΔAOE = ΔDOE (c.g.c) 

⇒ $\widehat{OAE}$ = $\widehat{ODE}$ = $90^o$

⇒ EA là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

d, Ta có: $\widehat{EAO}$ = $90^o$; $\widehat{BAO}$ = $60^o$

⇒ $\widehat{EAB}$ = $30^o$

ΔAOB đều có AH là đường cao cũng là đường phân giác

⇒  $\widehat{BAH}$ = $30^o$

⇒ AB là phân giác của ΔEAH

⇒ $\frac{BE}{BH}$ = $\frac{AE}{AH}$ 

Vì AC ⊥ AB nên AC là phân giác ngoài của ΔEAH

⇒ $\frac{CE}{CH}$ = $\frac{AE}{AH}$ 

⇒ $\frac{CE}{CH}$ = $\frac{BE}{BH}$

⇒ CE.BH = BE.CH (đpcm)