Cho tam giác ABC. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại O. Từ A lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với hai đường phân giác trên, cắt đường thẳng BC ở M và N. Chứng minh : a) Chu vi tam giác ABC bằng MN. b) Đường trung trực của MN đi qua O. c) AO là phân giác góc BAC.

Gọi K, H là giao điểm như hình vẽ

a) Xét $\triangle$ABC có:

BK là đường cao ứng với AM

BK là tia phân giác ứng với AM

`=>` $\triangle$ABC cân tại B.

`=>` MB = MA

Xét tương tự $\triangle$ACN có: $\triangle$ACN cân tại C `=>` AC = AN

Chu vi $\triangle$ABC = AB + BC + AC = MB + BC + CN = MN (đpcm)

b) Gọi P là trung điểm của MN.

Xét $\triangle$AMN có:

OK là trung trực ứng với AM

OH là trung trực ứng với AN

OH cắt OK tại O

`=>` OP là trung trực thứ ba ứng với MN

c) Xét $\triangle$ABC có 2 đường phân giác cắt nhau tại O của phía ngoài

`=>` OA là tia phân giác $\widehat{BAC}$