Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn ( M khác A và B ). Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB ). Trên cùng nửa mặt phẳngbờ AB chứa nửa đường tròn (O), vẽ hai nửa đường tròn tâm O1 đường kính AH và tâm O2 đường kính BH. MA và MB cắt hai nửa đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại P và Q. a) Chứng minh MH = PQ. b) Chứng minh hai tam giác MPQ và MBA đồng dạng. c) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2).

a) Ta có: $\widehat{APH}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow\widehat{MPH}=90^o$ (kề bù)

$\widehat{HQB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{MQH}=90^o$ (kề bù)

$\widehat{AMB}=90^o =\widehat{PMQ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác $MPHQ $ có:

$\widehat{MPH}=\widehat{MQH}=\widehat{PMQ}=90^o$

$\Rightarrow MPHQ$ là hình chữ nhật $\Rightarrow PQ=MH$ (tính chất)

b) Ta có $\Delta AMH\bot H$ có $\widehat{APH}=90^o$ nên $HP\bot AM$, $HP$ là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta AMH\bot H$ đường cao $HP$ có:

$MH^2=MP.MA$

Chứng minh tương tự áp sụng hê thức lượng vào $\Delta MBH\bot H$ đường cao $HQ$ có:

$MH^2=MQ.MB$

$\Rightarrow MP.MA=MQ.MB\Rightarrow\dfrac{MP}{MB}=\dfrac{MQ}{MA}$

$\widehat{PAQ}=\widehat{BMA}$ (cùng là 1 góc)

$\Rightarrow\Delta MPQ\sim\Delta MBA$ (c.g.c)

c) $MPHQ$ là hình chữ nhật nên $\widehat{MPQ}=\widehat{PQH}$ (so le trong)

$\Delta MPQ\sim\Delta MBA\Rightarrow\widehat{MPQ}=\widehat{MBA}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{PQH}= \widehat{MBA}$

mà trong $(O_2)$: $\widehat{MBA}$ là góc nội tiếp chắn cung $QH$

$\widehat{PQH}$ là góc tạo bởi $PQ$ và dây cung $QH$

$\Rightarrow PQ$ là tiếp tuyến $(O_2)$

Chứng minh tương tự $(O_1)$ có $\widehat{QPH}=\widehat{PAH}$ (do $=\widehat{MQP}$)

$\Rightarrow PQ$ là tiếp tuyến $(O_1)$

$\Rightarrow PQ$ là tiếp tuyến của hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$.