B1: cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của A= x²+y²+z²+xyz B2: cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTNN của B= (x+y)(y+z)(z+x)-2(x+y+z)

a, 

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$

Khi đó ta có:

$A=p^2-2q+r$

Theo bất đẳng thức Schur có: $p^3-4pq+9r \geq 0$

Nên $r \geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{12q-27}{9}$

Nên $A \geq 9-2q+\dfrac{12q-27}{9}=6-\dfrac{2q}{3}$

$q \leq \dfrac{p^2}{3}=3$

Nên $A \geq 6-\dfrac{2.3}{3}=4$

Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y=z=1$

b2

Áp dụng bđt: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Đặt như b1 ta có:

$B \geq \dfrac{8}{9}pq-2p \geq \dfrac{8}{9}p.3.\sqrt[3]{r^2}-2p=\dfrac{8}{3}p-2p=\dfrac{2}{3}p \geq \dfrac{2}{3}.3.\sqrt[3]{r}=2$

Dấu $=$ xảy ra $⇔x=y=z=1$