Chứng minh các bđt: 3 (a ² + b ² + c ²) ≥ (a + b + c) ² ≥ 3(ab+bc+ca)

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

3 (a ² + b ² + c ²) = 3a²+3b²+3c²

⇒3 (a ² + b ² + c ²) ≥ (a + b + c) ²

⇔3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

⇔2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac

⇔2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0

⇔(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²) ≥0

⇔(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0

Mà (a-b)²≥0 ; (b-c)²≥0 ; (c-a)²≥0

⇒3 (a ² + b ² + c ²) ≥ (a + b + c) ² (1)

Lại  có : (a + b + c) ² ≥ 3(ab+bc+ca)

⇔a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac ≥ 3ab+3bc + 3ac

⇔a²+b²+c²-ab-bc-ac≥0

⇔2.(a²+b²+c²-ab-bc-ac)≥0

⇔2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac

⇔2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0

⇔(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²) ≥0

⇔(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0

Mà (a-b)²≥0 ; (b-c)²≥0 ; (c-a)²≥0

⇒(a + b + c) ² ≥ 3(ab+bc+ca)(2)

Từ (1)(2)⇒đccm