Cho đường tròn (O) đường kính BC, A là 1 điểm thuộc đường tròn (O) sao cho AB < AC, D là điểm giữa O và C. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E và cắt đường thẳng AB tại F. a) Chứng minh các tứ giác ABDE và ADCF nội tiếp; b) Chứng minh: AEF ̂ = ABC ̂ c) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt DE tại M. Chứng minh: ∆AME cân tại M; d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADCF. Chứng minh: OI ⊥ AC.

a. Ta có:

$BC$ là đường kính của $(O)\to \widehat{BAE}=90^o$ (góc nội tiếp chắn đường kính BC)

$\widehat{BDE}=90^o$ (giả thiết)

$\Diamond ABDE$ có $\widehat{BAE}+\widehat{BDE}=180^o$ nên $ABDE$ nội tiếp đường tròn $(BE)$

Ta có: $\widehat{FAC}=\widehat{FDC}=90^o$

$A, D$ cùng nhìn FC dưới một góc bằng $90^o$

$\to \Diamond AFCD$ nội tiếp

b. Ta có:
$FD\perp BC\to \widehat{AEF}=\widehat{ABC}(+\widehat{BFD}=90^o)$ 

c.Ta có MA là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{MAC}=\widehat{ABC}=\widehat{MEA}$

$\to\Delta MAE$ cân tại M

d.Ta có $\widehat{FAC}=\widehat{FDC}=90^o\to \Diamond AFCD$ nội tiếp đường tròn đường kính CF

$\to I$ là trung điểm CF

$\to IO$ là đường trung bình $\Delta CBF\to OI//BF\to OI\perp AC(BF\perp AC)$