Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác sad là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ). biết khoảng cách từ A đến ( SBC) là a√3. tính thể tích S.ABCD tính theo a

Đáp án: $\dfrac{7\sqrt{21}a^3}6$

Giải thích các bước giải:

Gọi $F$ là trung điểm $AD$

Vì $\Delta SAD$ đều

$\to SF\perp AD$

Lại có: $(SAD)\perp (ABCD)\to SF\perp (ABCD)$

Vì $ABCD$ là hình vuông

$\to AD//BC\to AD//(SBC)$

$\to d(A, SBC)=d(F, SBC)$

Gọi $E$ là trung điểm $BC$

$\to EF//AB//DC$

Kẻ $FH\perp SE$

Vì $SF\perp (ABCD)\to SF\perp BC$

$\to BC\perp (SFE)\to BD\perp FH$

Do $FH\perp SE$

$\to FH\perp (SBC)$

$\to FH=d(F, SBC)=a\sqrt3$

Gọi $AB=x$

Vì $ABCD$ là hình vuông

$\to EF=AB=CD=AD=BC=x$

Ta có: $\Delta SAD$ đều, $SF\perp AD$

$\to SF=\dfrac{x\sqrt3}2$

Do $SF\perp FE,FH\perp SE$

$\to \dfrac1{FH^2}=\dfrac1{FS^2}+\dfrac1{FE^2}$

$\to \dfrac1{3a^2}=\dfrac1{(\dfrac{x\sqrt3}2)^2}+\dfrac1{x^2}$

$\to x=a\sqrt7$

$\to AB=BC=CD=DA=a\sqrt7, SF=\dfrac{a\sqrt{21}}2$

$\to V_{SABCD}=\dfrac13SF\cdot S_{ABCD}=\dfrac13\cdot \dfrac{a\sqrt{21}}2\cdot (a\sqrt7)^2=\dfrac{7\sqrt{21}a^3}6$