Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kè HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F. A) Chứng minh rằng EB/FC=(AB/AC)^3 B)Chứng minh rằng AH^3 = BC.BE.CF C)Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh rằng EM+FN=1/2 BC D) Chứng minh rằng EM //EN E) Chứng minh rằng S tam giác FMNE= 1/2 diện tích ABC

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}$

$\to (\dfrac{AB^2}{AC^2})^2=(\dfrac{BH}{CH})^2$ 
$\to \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE\cdot BA}{CF\cdot CA}$

$\to \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BE}{CF}$

$\to \dfrac{EB}{FC}=(\dfrac{AB}{AC})^3$

b.Ta có:

$AH^2=HB\cdot HC$

$\to (AH^2)^2=(HB\cdot HC)^2$

$\to AH^4=HB^2\cdot HC^2$

$\to AH^4=(BE\cdot BA)\cdot (CF\cdot CA)$

$\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (BA\cdot CA)$

$\to AH^4=(BE\cdot CF)\cdot (AH\cdot BC)$

$\to AH^3=BC\cdot BE\cdot CF$

c.Ta có $\Delta BEH$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BH$

$\to EM=MH=MB=\dfrac12BH$

Tương tự $FN=NH=NC=\dfrac12CH$

$\to EM+FN=\dfrac12BH+\dfrac12CH=\dfrac12BC$

d.Từ câu c $\to \Delta EMH,\Delta FNC$ cân tại $M, N$

Ta có $HE//AC(\perp AB)$

$\to \widehat{EMB}=2\widehat{EHM}=2\widehat{FCN}=\widehat{FNH}$

$\to ME//FN$

e.Ta có $AB\perp AC, HE\perp AB, HF\perp AC$

$\to AEHF$ là hình chữ nhật

$\to AH=EF$

Ta có: $ME//FN\to MEFN$ là hình thang

Mà $\widehat{MEH}=\widehat{EHM}=90^o-\widehat{EHA}=\widehat{EAH}=\widehat{AEF}=90^o-\widehat{FEH}$

$\to\widehat{FEH}+\widehat{MEH}=90^o$

$\to\widehat{MEF}=90^o$

$\to ME\perp EF$

$\to MEFN$ là hình thang vuông tại $E,F$

$\to S_{FMNE}=\dfrac12EF\cdot (EM+ FN)$

$\to S_{FMNE}=\dfrac12\cdot AH\cdot \dfrac12BC=\dfrac12\cdot \dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12S_{ABC}$