cho a,b,c>0 ,a+b+c ≤1 tìm GTNN của S=abc+1/(abc)

$\text{Đáp án:}$

$\text{ Min = $\dfrac{730}{27}$ ⇔ x = y = z = $\dfrac{1}{3}$}$

$\text{Giải thích các bước giải:}$

$\text{→ Ta có bất đẳng thức sau :}$

$\text{1 ≥ a + b + c ≥ 3$\sqrt[3]{abc}$            ( Cauchy )}$

$\text{⇔ $\sqrt[3]{abc}$ ≤ $\dfrac{1}{3}$}$

$\text{⇔ abc ≤ $\dfrac{1}{27}$}$

$\text{S = abc + $\dfrac{1}{abc}$ = abc + $\dfrac{1}{729abc}$ + $\dfrac{1}{abc}$ - $\dfrac{1}{729abc}$}$

$\text{≥ 2$\sqrt{abc . \dfrac{1}{729abc}}$ + $\dfrac{728}{729 . \dfrac{1}{27}}$  ( Cauchy )}$

$\text{= 2 . $\dfrac{1}{27}$ + $\dfrac{728}{27}$ = $\dfrac{730}{27}$}$

$\text{Dấu ''='' xảy ra ⇔ a = b = c = $\dfrac{1}{3}$.}$