Cho các số nguyên a b, và số nguyên tố p thỏa mãn a^2+b^2/p .Cho biết p là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng a^2+b^2/p cũng là tổng của hai số chính phương.

Ta có:

`(a^2 + b^2)/p in ZZ` nên `a^2 + b^2 vdots p`

Đặt `a^2 + b^2 = kp` với `k in NN^(**)`

Theo đề ra ta có: `p` là tổng của `2` số chính phương nên:

`p= x^2 + y^2` với `x,y in NN^(**)`

Ta có: `(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) =   (ax + by)^2  + (ay - bx)^2`

Chia cả `2` vế cho `(x^2 + y^2)^2` ta được:

`(a^2 + b^2)/(x^2 + y^2) = ((ax+by)^2)/((x^2 + y^2)^2) + ((ay -bx)^2)/((x^2+y^2)^2)`   `(***)`

Ta thấy: `(ax+by)^2 + (ay -bx)^2 = (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) vdots p^2`

Do `a^2 + b^2` và `x^2 + y^2` đều chia hết cho `p`

`->  (ax+by)^2 vdots p^2` và `(ay -bx)^2 vdots p^2`

`-> {( ((ax+by)^2)/((x^2 + y^2)^2) =( (ax+by)/(x^2 + y^2) )^2 in NN),(((ay -bx)^2)/((x^2+y^2)^2) = ( (ay - bx)/(x^2 + y^2) )^2  in NN):}`

`->  ((ax+by)^2)/((x^2 + y^2)^2) + ((ay -bx)^2)/((x^2+y^2)^2) in NN`

`-> ( (ax+by)/(x^2 + y^2) )^2 + ( (ay - bx)/(x^2 + y^2) )^2` là tổng của `2` số chính phương

Từ `(***)` ta được: `(a^2 + b^2)/(x^2 + y^2)` là tổng của `2` số chính phương

`-> (a^2 + b^2)/p` là tổng của `2` số chính phương

`->` đpcm