Helpppppppppppppppppppppp

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a, Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình nên ta giả sử: x ≤ y ≤ z
⇒ 2xyz = x + y + z ≤ 3z

⇒ xy ≤$\frac{3}{2}$ 

⇒ xy =1
⇒ x = y = 1, thay vào (2) ta có : 1+1+z = 2z  ⇒ z = 2

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của (1 ; 1 ; 2)

b, Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình nên ta giả sử: 1≥x ≥ y ≥ z

⇒ 1=$\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{z}$ ≤$\frac{3}{z}$ 

⇒ z≤3

⇒ z ∈ {1;2;3}

Lại có: $\frac{1}{z}$ <1 do $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{z}$=1

⇒ z>1

⇒ z ∈ {2;3}

Với z=2 thì $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{2}$=1

⇒ $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ =$\frac{1}{2}$≤$\frac{2}{y}$ 

⇒ y≤4

Lại có: $\frac{1}{y}$ <$\frac{1}{2}$ do $\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{1}{2}$

⇒ y>2

⇒ y ∈ {3;4}

+Với z=2,y=3 thì $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{x}$=1

⇒ $\frac{1}{x}$=$\frac{1}{6}$

⇒ x=6

+Với z=2,y=4 thì $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{x}$=1

⇒ $\frac{1}{x}$=$\frac{1}{4}$

⇒ x=4

Với z=3 thì $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ +$\frac{1}{3}$=1

⇒ $\frac{1}{x}$ +$\frac{1}{y}$ =$\frac{2}{3}$≤$\frac{2}{y}$ 

⇒ 2y≤6

⇒ y≤3

Lại có: $\frac{1}{y}$ <$\frac{2}{3}$ do $\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{2}{3}$

⇒ y>1,5>2

⇒ y=3

Thay vào phương trình trên ta được:

$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{x}$=1

⇒ $\frac{1}{x}$=$\frac{1}{3}$

⇒ x=3

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của (2;3;6),(2;4;4),(3;3;3)

c, Do vai trò bình đẳng của x, y, z, t trong phương trình nên ta giả sử: 1≤x ≤ y ≤ z≤t

⇒ $\frac{5(x+y+z+t)}{xyzt}$ +$\frac{10}{xyzt}$ =$\frac{2xyzt}{xyzt}$ 

⇒ 2=$\frac{5}{xyz}$ +$\frac{5}{xzt}$ +$\frac{5}{yzt}$ +$\frac{10}{xyzt}$ ≤ $\frac{5}{x^3}$ +$\frac{5}{x^3}$ +$\frac{5}{x^3}$ +$\frac{10}{x^3}$ =$\frac{30}{x^3}$ 

⇒ 2x³≤30

⇒ x³≤15

⇒ x ∈ {1;2}

Với x=1

⇒ 2=$\frac{5}{yz}$ +$\frac{5}{zt}$ +$\frac{5}{yzt}$ +$\frac{10}{yzt}$ +$\frac{5}{yt}$ ≤$\frac{30}{y^2}$ 

⇒ y²≤15

⇒ y ∈ {1;2;3}

+Với x=1,y=1 thì 5(z+t)+20=2zt

⇔ (2z-5)(2t-5)=65

Do 1≤z≤t nên -3≤2z-5≤2t-5

Phân tích: 65=65·1=5·13

⇒ (z;t) ∈ {(3;35),(9;5)}

+Với x=1,y=2 thì 5(z+t)+25=4zt

⇔ (4z-5)(4t-5)=50

Vì (4z-5)(4t-5) chia 4 dư 3

mà 50 chia 4 dư 2

⇒ không có z,t thỏa mãn

+Với x=1,y=3 thì 5(z+t)+30=6zt

⇔ (6z-5)(6t-5)=205

Do 3≤z≤t nên 13≤6z-5≤6t-5

Phân tích: 205=205·1=41·5

⇒  không có z,t thỏa mãn

Với x=2

⇒ 4=$\frac{5}{zt}$ +$\frac{5}{yt}$+$\frac{5}{yz}$ +$\frac{20}{yzt}$ ≤$\frac{35}{y^2}$ 

⇒ y²≥$\frac{35}{4}$ 

⇒ y=2

Thay vào phương trình ta được:

5(z+t)+30=8zt

⇔ (8z-5)(8t-5)=265

Do 2≤z≤t nên 11≤8z-5≤8t-5

Phân tích: 265=265·1=53·5

⇒ không có z,t thỏa mãn

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là các hoán vị của (1;1;3;35),(1;1;9;5)