Cho pt: x^2-2(m+1)x+4m-m^2=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức T=|x1-x2| đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải thích các bước giải:

pt: $x^2-2(m+1)x+4m-m^2=0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì  $Δ'>0$:

$⇔Δ'=b'^2-ac=(m+1)^2-(4m-m^2)=2m^2-2m+1=m^2+(m-1)^2$

$⇒Δ'>0⇔m^2+(m-1)^2⇔m>1$

Biểu thức: $T=|x_1-x_2|$

$⇔T^2=(x_1-x_2)^2$

$⇔(x_1+x_2)^2-4.x_1.x_2$

Theo hệ thức Vi-ét:

$\left \{ {{x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m+2} \atop {x_1.x_2=\frac{c}{a}=4m-m^2}} \right.$ 

Thay vào biểu thức:

$⇒(2m+2)^2-4.(4m-m^2)=8m^2-8m+4=8.(m^2-m+\frac{1}{2})=8.[(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4})$

 Vì: $(m-\frac{1}{2})^2≥0$                                      $∀m$

$⇒(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}≥\frac{1}{4}$          $∀m$

$⇒8.[(m-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}) ≥ 2$                 $∀m$

$⇒T≥√2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $√2$

Dấu bằng xảy ra khi: $m=\frac{1}{2}$