Lập phương trình đường thẳng d phẩy đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng delta với d/2x-y+1=0,∆ 3x-4y+2=0

Đáp án:

Phương trình đường thẳng $d'$: $2x - 11y + 3 = 0$

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Δ và (d)

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - y + 1 = 0\\
3x - 4y + 2 = 0
\end{array} \right. \to M\left( {\dfrac{{ - 2}}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)

Chọn N(0;1) ∈ (d)

Tìm N' đx N qua Δ

Đường thẳng NN' qua N(0;1) và vec tơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{NN'}} = \overrightarrow u_Δ  = \left( {4;3} \right)\) (do $∆ 3x-4y+2=0$ nên $\vec{n_{\Delta}}=(3;-4)$)

Ta có phương trình đường thẳng $NN'$

$4x+3(y-1)=0⇒4x+3y-3=0$

Gọi I là giao của Δ và đt NN'. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
3x - 4y + 2 = 0\\
4x + 3y - 3 = 0
\end{array} \right.\\
 \to I\left( {\dfrac{6}{{25}};\dfrac{{17}}{{25}}} \right)
\end{array}\)

Có I là trung điểm của NN'

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{0 + {x_{N'}}}{2} = \frac{{6}}{{25}}\\
\dfrac{1 + {y_{N'}} }{2}= \frac{{17}}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x_{N'}} = \dfrac{{12}}{{25}}\\
{y_{N'}} = \dfrac{9}{{25}}
\end{array} \right.\\
 \to N'\left( {\dfrac{{12}}{{25}};\dfrac{9}{{25}}} \right)\\
 \to MN' = \left( {\dfrac{{22}}{{25}};\dfrac{4}{{25}}} \right)\\
 \to vtpt:{\overrightarrow n _{d'}} = \left( {2; - 11} \right)
\end{array}\)

Đường thẳng $d'$ qua \(M\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _{d'}} = \left( {2; - 11} \right)\) có phương trình:

\(\begin{array}{l}
2\left( {x + \dfrac{2}{5}} \right) - 11\left( {y - \dfrac{1}{5}} \right) = 0\\
 \to 2x - 11y + 3 = 0
\end{array}\)