`a,b,c` là các số thực không âm thỏa mãn `a+b+c=1`. tìm min `P=\sqrt{16a+9}+\sqrt{16b+9}+\sqrt{16c+9}`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Vì \(\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\\\end{cases}\)

`=>0<=a,b,c<=1`

`=>9<=16a+9,16b+9,16c+9<=25`

Đặt `{(\sqrt{16a+9}=x),(\sqrt{16b+9}=y),(\sqrt{16c+9}=z):}`

`=>` \(\begin{cases}x^2+y^2+z^2=16.(a+b+c)+27=43\\3\le x,y,z\le5\\\end{cases}\)

`=>(x-3)(x-5)<=0`

`<=>x^2-8x+15<=0`

`<=>x^2<=8x-15`

Hoàn toàn tương tự:

`y^2<=8y-15`

`z^2<=8z-15`

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

`8(x+y+z)-45>=x^2+y^2+z^2=43`

`<=>8(x+y+z)>=88`

`<=>x+y+z>=11`

Hay `P>=11.`

Dấu "=" xảy ra khi `(a,b,c)=(0,0,1)` và các hoán vị.