Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và bán kính R. A là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn sao cho AB > AC. Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực của BC tại D. Hạ DH và DK lần lượt vuông góc tới AB và AC. a) Chứng minh tứ giác AHDK là một hình vuông. b) Chứng minh bốn điểm A, B, C và D cùng nằm trên một đường tròn. c, qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E , qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng BD tại X . CMR X là điểm cố định d, hạ AM vuông góc vơi BC . Tìm GTLN của tổng (2AM+MB)

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to AB\perp AC$

Mà $DH\perp AB, DK\perp AC$

$\to AHDK$ là hình chữ nhật

Lại có $AD$ là phân giác $\hat A$

$\to AHDK$ là hình vuông

b.Từ câu a $\to DH=DK$

Do $D\in$ trung trực của $BC\to DB=DC$

$\to \sin\widehat{HBD}=\dfrac{DH}{BD}=\dfrac{DK}{DC}=\sin\widehat{DCK}$

$\to\widehat{DBH}=\widehat{DCK}$

$\to\widehat{DCK}=\widehat{ABD}$

$\to ABDC$ nội tiếp

$\to A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn

c.Ta có $ABCD$ nội tiếp, $A, B, C\in (O)$

$\to D\in (O)$

Mà $AD$ là phân giác $\hat A$

$\to D$ nằm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$

Do $B, C$ cố định

$\to D$ cố định

Mặt khác $\widehat{BDC}=180^o-\widehat{BAC}=90^o\to CD\perp BX$

Ta có $CE//AB, XE//AC, AB\perp AC\to EC\perp EX$

$\to\widehat{XDC}=\widehat{XEC}(=90^o)$

$\to CXED$ nội tiếp

$\to \widehat{ECX}=\widehat{EDB}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{BCX}=\widehat{BCE}+\widehat{ECX}=\widehat{BCE}+\widehat{ACB}=\widehat{ACE}=90^o$

Vì $CE//AB, AB\perp AC\to AC\perp CE$

$\to BC\perp CX$

Mà $\widehat{CBD}=\widehat{DAC}=\dfrac12\widehat{BAC}=45^o$

$\to \Delta CBX$ vuông cân tại $C$

$\to CX\perp BC, CX=BC$

$\to X$ cố định

d.Ta có:

$P=2AM+MB$

$\to P=2AM+(MO+OB)$

$\to P=2AM+MO+R$

$\to P=(2AM+MO)+R$

$\to P=\sqrt{(2AM+MO)^2}+R$

$\to P\le \sqrt{(2^2+1^2)(AM^2+MO^2)}+R$

$\to P\le \sqrt{5AO^2}+R$

$\to P\le \sqrt{5R^2}+R$

$\to P\le R(\sqrt{5}+1)$

Dấu = xảy ra khi $MA=MO$

$\to \Delta MAO$ vuông cân tại $O\to \widehat{AOM}=45^o\to\widehat{AOC}=45^o$