cho a b c >0 / abc=1 CMR P=a / a^2 + 2 + b/ b^2 + 2 + c / c^2 + 2 <=1

Đáp án:

Ta có: 

`P=a/(a^2+2)+b/(b^2+2)+c/(c^2+2)`

`=a/(a^2+1+1)+b/(b^2+1+1)+c/(c^2+1+1)`

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

`P<=a/(2a+1)+b/(2b+1)+c/(2c+1)`

`<=>` `P<=[1/2-1/(2(a+1))]+[1/2-1/(2(b+1))]+[1/2-1/(2(c+1))]`

Ta sẽ chứng minh:

`[1/2-1/(2(a+1))]+[1/2-1/(2(b+1))]+[1/2-1/(2(c+1))]<=1`

hay `a/(2a+1)+b/(2b+1)+c/(2c+1)>=1`

`<=>(2a+1)(2b+1)+(2b+1)(2c+1)+(2c+1)(2a+1)>=(2a+1)(2b+1)(2c+1)`

`<=>` `2(a+b+c)>=6`

`<=>` `a+b+c>=3`

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi `a=b=c=1`

`=>` Điều này là đúng với BĐT AM-GM.

`=>` đpcm