Cho hình thoi ABCD có góc A=120 độ.tia Ax tạo với AB một góc BAx một góc =15 độ và cắt cạnh BC tại M,cắt đường thẳng CD tại N.chứng minh rằng:1/AM bình +1/AN bình =4/3AB bình

$\Delta ABC$ có $BA=BC$

$\widehat{ABC}=180^o-\widehat{BAD}=180^o-120^o=60^o$

($\widehat{ABC}$ và $\widehat{BAD}$ là hai góc ở vị trí trong cùng phía)

$\Rightarrow\Delta ABC$ đều, tương tự $\Delta ACD$ đều

Gọi $J$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow AJ$ vừa là trung tuyến vừa là phân giác, đường cao

$\Rightarrow\widehat{ACJ}=\widehat{JAD}=30^o$

Dựng $\widehat{DAF}=15^o$

$\Rightarrow \widehat{NAF}=\widehat{BAD}-\widehat{BAx}-\widehat{FAD}=120^o-15^o-15^o=90^o$

$\Rightarrow NAF\bot A$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ADF$ có

$\begin{cases}\widehat{BAM}=\widehat{FAD}=15^o\\AB=AD\\\widehat{ABM}=\widehat{ADF}=60^o\end{cases}$

$\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ADF$ (g.c.g)

$\Rightarrow AM=AF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Delta NAF\bot A:$

$\dfrac{1}{AJ^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac1{AF^2}=\dfrac1{AN^2}+\dfrac1{AM^2}$

$\Delta ACJ\bot J:AJ=\sqrt{AC^2-CJ^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac a2)^2}=\dfrac{a\sqrt3}2=\dfrac{\sqrt3}2AB$

$\Rightarrow\dfrac1{AJ^2}=\dfrac4{3AB^2}$

$\Rightarrow\dfrac4{3AB^2}=\dfrac1{AN^2}+\dfrac1{AM^2}$ (đpcm).