Bài 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M, N , P,Q,R lần lượt là trung điểm của AB,CD, AD, BC, AC. a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. MN vuông góc RP, MN vuông góc RQ B. MN vuông góc RP ,MN cắt RQ C. MN chéo RP; MN chéo RQ D. Cả A, B, C đều sai b) Tỉnh góc của hai đường thẳng AB và CD? Giải hộ mình bài 11 câu b

a) Đáp án A

Vì:

A. Tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng a, nên các mặt đều là tam giác đều cạnh a, suy ra các đường trung tuyến bằng nhau

$\Delta CMD$ cân đỉnh M (do CM=DM) $\Rightarrow MN\bot CD$

Mà $RP//CD$ (do RP là đường trung bình $\Delta ACD$)

$\Rightarrow MN\bot RP$

Chứng minh tương tự: $MN\bot AB$ (do $\Delta NAB$ cân đỉnh N)

$RQ//AB$ (do RQ là đường trung bình của $\Delta ABC$)

$\Rightarrow MN\bot RQ$

b) Đáp án D

Giải thích

AB//QR; CD//RP

⇒$\widehat{(AB;CD)}=\widehat{(QR;RP)}$

$RQ=\dfrac12AB=\dfrac a2$

$RP=\dfrac12CD=\dfrac a2$

$\Rightarrow RQ=RP\Rightarrow\Delta RPQ$ cân đỉnh R.

Xét $ΔPQD \bot P$ có: QD=$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ ; PQ=$\dfrac{a}{2}$ 

⇒ $QP^2=QD^2-PD^2$ = $\dfrac{a^2}{2}$

Ta có: $RQ^2+RP^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{a^2}{2}=QP^2$

⇒ $\Delta QRP$ là tam giác vuông cân tại R

⇒ $\widehat{(AB;CD)}=\widehat{(QR;RP)}=90^o$

→ D

Cách 2:

Do $ABCD$ là tứ diện đều, gọi $F=BN\cap DQ\Rightarrow AF\bot(BCD)$

$\Rightarrow AF\bot CD$

$CD\bot BN$

$\Rightarrow CD\bot(ABN)\Rightarrow CD\bot AB\Rightarrow\widehat{(AB,CD)}=90^o$.