1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA = (sinB +sinC) / (cosB +cosC) . Chứng minh tam guacs ABC vuông 2. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA / ma = sinB/mb = sinC/mc (trong đó ma,mb, mc là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A,B, C) . Chứng minh tam giác ABC đều

1.

Ta có: $ A+ B+C=180^o$ (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow\dfrac{A}{2}+\dfrac B2+\dfrac C2=90^o$

$\Rightarrow\dfrac B2+\dfrac C2=\dfrac {\pi}2-\dfrac A2$

$\Rightarrow\sin\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right) =\sin\left({\dfrac {\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \cos\dfrac A2$;

$\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right) = \cos\left({\dfrac{\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \sin\dfrac A2$; 

$\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}$

$⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{2\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 - \dfrac C2}\right)}{2\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 -\dfrac C2}\right)}$

$⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)}{\cos\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right)}$

$⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 =\dfrac{ \cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}$

$⇔ 2\sin²\dfrac A2 = 1$

$⇔ 1 - 2\sin²\dfrac A2 = 0$

$⇔ \cos A = 0$

$⇔ A =\dfrac π2$ (đpcm)

2.

Ta có:

$4m^2_a = 2(b² + c²) - a²; \sin²A = \dfrac {a²}{4R²}$

$4m^2_b = 2(c² + a²) - b²; \sin²B = \dfrac{b²}{4R²}$

$4m^2_c = 2(a² + b²) - c²; \sin²C = \dfrac{c²}{4R²}$

$\dfrac{\sin A}{m_a} = \dfrac {\sin B}{m_b} =\dfrac{\sin C}{m_c}$

Lấy nghịch đảo, bình phương hai vế và nhân với 4

$⇔ \dfrac{4m^2_a}{\sin²A} =\dfrac{ 4m^2_b}{\sin²B} = \dfrac{4m^2_c}{\sin²C}$

$⇔ \dfrac{2(b² + c²) - a²}{a²} = \dfrac{2(c² + a²) - b²}{b²} =\dfrac {2(a² + b²) - c²}{c²}$

$⇔ \dfrac{b² + c²}{a²} = \dfrac{c² + a²}{b²} =\dfrac{ a² + b²}{c²} = \dfrac{2(a² + b² + c²)}{a² + b² + c²} = 2$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7)

$⇔\left\{\begin{array}{I} b² + c² = 2a²(1)\\ c² + a² = 2b²(2)\end{array}\right.$

Lấy (2) - (1) ta được:

$a² - b² = 2(b² - a²)$

$⇔ 3(a² - b²) = 0$

$⇔ a = b$ thay vào (1) $⇒ c = a$

$⇔ a = b = c$ (đpcm)