Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE (D, E thuộc (O) và D nằm giữa A, E). Đường thẳng qua D vuông góc với OB cắt BC, BE lần lượt tại H và K. Vẽ OI vuông góc với AE tại I. a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng IA là tia phân giác của BIC c) Chứng minh: DH = HK làm hộ mình bài 4 phần 1

a) AB, AC là hai tiếp tuyến của (O), theo tính chất tiếp tuyến ta có

$\begin{cases}\widehat{ABO}=90^o\\\widehat{ACO=90^o}\end{cases}$

$\Rightarrow $ Tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính (AO)

hay $A, B, O, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính (AO)

Lại có $\widehat{AIO}=90^o$ (giả thiết)

$\Rightarrow I\in$ đường tròn đường kính (AO)

$\Rightarrow A, B, I, O, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính (AO)

b) Do $A, B, I, O, C$ cùng thuộc một đường tròn nên

$\widehat{AIC}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

$\widehat{AIB}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ($\Delta ABC$ cân đỉnh A do AB=AC)

Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{AIC}=\widehat{AIB}$

$\Rightarrow IA$ là đường phân giác $\widehat{BIC}$

c) Ta có: $\widehat{HDA}=\widehat{BAI}$ (hai góc ở vị trí đồng vị do AB//KD)

$\widehat{BAI}=\widehat{BCI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB của đường tròn đường kính (AO))

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{HDI}=\widehat{BCI}$

$D, C$ cùng nhìn cạnh $HI$ dưới cùng một góc $\Rightarrow IHCD$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{HID}=\widehat{HCD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

mà $\widehat{HCD}=\widehat{BED}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O))

$\Rightarrow \widehat{HID}=\widehat{BED}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow IH//EB$ và có I là trung điểm của ED ($do OI\bot ED$ tính chất đường kính và dây cung)

$\Rightarrow IH$ là đường trung bình của $\Delta DEB\Rightarrow H$ là trung điểm của DK

Vậy DH=HK.