Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại I. a) Chứng minh tam giác BIH đồng dạng với tam giác AIK và IA.IH = IB.IK. b) Qua B kẻ đường vuông góc với AB, cắt tia AH tại E. Chứng minh tam giác BIA đồng dạng với tam giác HIK và góc BKH = góc HBE. c) Kẻ phân giác AD của tam giác ABC. Giả sử AB = 8cm, AC = 12cm và CD – BD = 6cm. Tính độ dài BD, CD. d) Chứng minh IB/IE = AH/BK

Lời giải:

a) Xét $\triangle BIH$ và $\triangle AIK$ có:

$\begin{cases}\widehat{H}=\widehat{K}=90^\circ\\\widehat{BIH}=\widehat{AIKl}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle BIH\backsim \triangle AIK\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{IK}=\dfrac{IB}{IA}$

$\Rightarrow IA.IH = IB.IK$

b) Ta có:

$\dfrac{IH}{IK}=\dfrac{IB}{IA}$ (câu a)

$\Rightarrow \dfrac{IB}{IH}=\dfrac{IA}{IK}$

Xét $\triangle BIA$ và $\triangle HIK$ có:

$\begin{cases}\dfrac{IB}{IH}=\dfrac{IA}{IK}\quad (cmt)\\\widehat{BIA}=\widehat{HIK}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle BIA\backsim\triangle HIK\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{HKI}$

hay $\widehat{HAB}=\widehat{BKH}$

Ta lại có:

$\widehat{HAB} +\widehat{ABH}= 90^\circ$

$\widehat{ABH}+\widehat{HBE}= \widehat{ABE}= 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{HBE}$ (cùng phụ $\widehat{ABH}$)

Do đó: $\widehat{BKH}=\widehat{HBE}\quad (=\widehat{HAB})$

c) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC =\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{64 + 144}= 4\sqrt{13}\ cm$

Áp dụng tính chất đường phân giác ta được:

$\quad \dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AC - CD}{CD}= \dfrac{AB}{BC}$

$\Leftrightarrow CD =\dfrac{AC.BC}{AB + BC}$

$\Leftrightarrow CD =\dfrac{12.4\sqrt{13}}{8 + 4\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow CD = \dfrac{52 - 8\sqrt{13}}{3}\ cm$

$\Rightarrow BD = CD - 6 = \dfrac{34 - 8\sqrt{13}}{3}\ cm$

d) Ta có:

$AH.BC = BK.AC = 2S_{ABC}$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{BK}= \dfrac{AC}{BC}\qquad (1)$

Xét $\triangle IBE$ và $\triangle CAB$ có:

$\begin{cases}\widehat{IBE}=\widehat{CAB}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{ABK}$)}\\\widehat{IEB}=\widehat{CBA}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{EBC}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle IBE\backsim \triangle CAB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IB}{AC}=\dfrac{IE}{BC}$

$\Rightarrow \dfrac{IB}{IE}=\dfrac{AC}{BC}\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \dfrac{IB}{IE}=\dfrac{AH}{BK}$