Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:

Biểu thức xác định ⇔ $\begin{cases}x^2 - 25 \neq 0 \\ x^2 + 5x \neq 0 \\ \dfrac{2x-5}{x^2+ 5x} \neq 0 \\ 5 - x \neq 0 \\\end{cases}$

⇔ $\begin{cases} (x-5)(x + 5) \neq 0 \\ x^2 + 5x \neq 0 \\ 2x - 5 \neq 0 \\ x^2 + 5x \neq 0 \\ 5 - x \neq 0 \\\end{cases}$
⇔ $\begin{cases} x -5 \neq 0 \\ x+ 5 \neq 0 \\ x(x+5) \neq 0 \\ x \neq \dfrac{5}{2} \\ x \neq 5 \\\end{cases}$

⇔ $\begin{cases} x \neq 5 \\ x \neq -5 \\ x \neq 0 \\ x \neq \dfrac{5}{2} \\\end{cases}$

Ta có: $\bigg(\dfrac{x}{x^2 -25} - \dfrac{x- 5}{x^2 + 5x}\bigg) : \dfrac{2x-5}{x^2 + 5x} + \dfrac{x}{5-x}$

$=\bigg[\dfrac{x}{(x-5)(x+5)} - \dfrac{x - 5}{x(x + 5)}\bigg] . \dfrac{x(x+5)}{2x - 5} + \dfrac{x}{5 - x}$

$=\dfrac{x^2 - (x-5)^2}{x(x-5)(x+5)} . \dfrac{x(x+5)}{2x - 5} - \dfrac{x}{x-5}$

$=\dfrac{x^2 - x^2 + 10x -25}{x-5} . \dfrac{1}{2x - 5} - \dfrac{x}{x-5}$

$=\dfrac{5(2x - 5)}{x-5} . \dfrac{1}{2x-5} - \dfrac{x}{x- 5}$

$=\dfrac{5}{x -5} - \dfrac{x}{x-5}$
$=\dfrac{5-x}{x-5}$

$= -1$

Vậy với $\begin{cases} x \neq 5 \\ x \neq -5 \\ x \neq 0 \\ x \neq \dfrac{5}{2} \\\end{cases}$ thì biểu thức không phụ thuộc vào biến