Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. 1. Chứng minh các điểm A, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh BI // MN. 3. Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Làm chi tiết hộ mình câu c nha! Cảm ơn mn nhiều

Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$

Do $E$ là trung điểm $MN$

$\to OE\perp MN$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=\widehat{AEO}=90^o$

$\to A, B, O, E, C\in$ đường tròn đường kính $AO$

2.VÌ $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB=AC$

Mà $ABOEC$ nội tiếp

$\to \widehat{AEC}=\widehat{ABC}=\widehat{BIC}$

$\to MN//BI$

3.Vì $IB//MN$

$\to IB//AN$

$\to S_{AIN}=S_{ABN}$

Kẻ $ND\perp AB\to ND\le NB\le 2R$

$\to S_{AIN}=\dfrac12ND.AB\le\dfrac12\cdot 2R\cdot AB=R\cdot AB$

Dấu = xảy ra khi $NB=2R$

$\to B, O, N$ thẳng hàng