Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với CE tại I cắt BC tại F 1) CM: tam giác CIF đồng dạng với tam giác CBE 2) CM: IC bình phương = IF. ID 3) CM: tam giác ADI cân 4) Gọi K là trung điểm của DC. Có AK cắt DF tại H. Tính diện tích tứ giác KHIC bt AB= 6cm

Giải thích các bước giải:

$a)\widehat{C_1}+\widehat{E_1}=90^o\\ \widehat{C_1}+\widehat{F_1}=90^o\\ \Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{F_1}$

Xét $\Delta CIF$ và $\Delta CBE$

$\widehat{CIF}=\widehat{CBE}=90^o\\ \widehat{E_1}=\widehat{F_1}\\ \Rightarrow \Delta CIF \backsim \Delta CBE\\ b)\widehat{D_1}+\widehat{C_2}=90^o\\ \widehat{C_1}+\widehat{C_2}=90^o\\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta CIF$ và $\Delta DIC$

$\widehat{CIF}=\widehat{DIC}=90^o\\ \widehat{D_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta CIF \backsim \Delta DIC\\ \Rightarrow \dfrac{CI}{DI}=\dfrac{IF}{IC}\\ \Rightarrow IC^2=ID.IF$

$c)ABCD$ là hình vuông

$\Rightarrow AB//CD,AB=CD$

Mà $AE=\dfrac{1}{2}AB, CK=\dfrac{1}{2}CD$

$\Rightarrow AE//CK,AE=CK$

$\Rightarrow AECK$ là hình bình hành

$\Rightarrow AK // EC\\ \Leftrightarrow HK//IC$

Mà $K$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow H $ là trung điểm $DI(1)$

$AK // EC\\ DF \perp EC\\ \Rightarrow AK \perp DF\\ \Leftrightarrow AH \perp DI(2)$

$(1)(2) \Rightarrow AH$ là trung trực $DI$

$\Rightarrow AD=AI$

$\Rightarrow ADI$ cân tại $A$

$d)CE=\dfrac{1}{2}AB=3cm;CF=\dfrac{1}{2}BC=3cm;$

$\Delta CBE$ vuông tại $B$

$\Rightarrow CE=\sqrt{CB^2+BE^2}=3\sqrt{5}cm\\ \Delta CIF \backsim \Delta CBE\\ \Rightarrow \dfrac{CI}{CB}=\dfrac{IF}{BE}=\dfrac{CF}{CE}\\ \Leftrightarrow \dfrac{CI}{6}=\dfrac{IF}{3}=\dfrac{3}{3\sqrt{5}}cm\\ \Rightarrow CI=\dfrac{6\sqrt{5}}{5};IF=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}cm\\ IC^2=ID.IF\\ \Rightarrow ID=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}cm\\ \Rightarrow HI=\dfrac{1}{2}ID=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}cm$

$\Delta DIC, HK$ là đường trung bình

$\Rightarrow HK=\dfrac{1}{2}IC=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}cm\\ S_{KHIC}=\dfrac{(HK+IC).HI}{2}=\dfrac{27}{5}cm^2$