Ai giúp em câu này với ạ, em cảm ơn nhiều

Đáp án:

 $A$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Công thức KT Maclaurin của hàm số $y$ đến $x^3$ 

$y = y\left( 0 \right) + y'\left( 0 \right).x + \dfrac{{y''\left( 0 \right)}}{{2!}}.{x^2} + \dfrac{{y'''\left( 0 \right)}}{{3!}}.{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)\left( * \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
 + )y = \dfrac{1}{{1 - \sin x}} \Rightarrow y\left( 0 \right) = 1\\
 + )y' = \dfrac{{ - \left( {1 - \sin x} \right)'}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\cos x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}}}\\
 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1\\
 + )y'' = \dfrac{{ - \sin x{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2} - \cos x.2\left( {1 - \sin x} \right).\left( { - \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^4}}}\\
 = \dfrac{{ - \sin x\left( {1 - \sin x} \right) + 2{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^3}}}\\
 = \dfrac{{1 - \sin x + {{\cos }^2}x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^3}}}\\
 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = 2\\
 + )y''' = \dfrac{{\left( { - \cos x + 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)} \right){{\left( {1 - \sin x} \right)}^3} - \left( {1 - \sin x + {{\cos }^2}x} \right).3{{\left( {1 - \sin x} \right)}^2}.\left( { - \cos x} \right)}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^6}}}\\
 = \dfrac{{\left( { - \cos x - 2\sin x\cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right) + 3\cos x\left( {1 - \sin x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^4}}}\\
 = \dfrac{{ - \cos x - 2\sin x\cos x + \sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x\cos x + 3\cos x - 3\sin x\cos x + 3{{\cos }^3}x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^4}}}\\
 = \dfrac{{2\cos x - 4\sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x\cos x + 3{{\cos }^3}x}}{{{{\left( {1 - \sin x} \right)}^4}}}\\
 \Rightarrow y'''\left( 0 \right) = 5
\end{array}$

Thay các hệ số vào $(*)$ ta có khai triển của hàm số như sau: $y = 1 + x + {x^2} + \dfrac{5}{6}{x^3} + o\left( {{x^3}} \right)$