Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), AB=BC và BC vuông góc với BD. a) Chứng minh AC vuông góc với AD b) Tính số đo các góc còn lại c) Gọi o là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng O cách đều hai cạnh bên và đáy lớn

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ABCD$ là hình thang cân

$\to AD=BC, AC=BD$

Mà $BD\perp BC$

$\to CD^2=BD^2+BC^2=AC^2+AD^2$

$\to\Delta ACD$ vuông tại $A$

$\to AC\perp AD$

b.Ta có $AB=BC\to \Delta ABC$ cân tại $B$

Mà $AB//CD$

$\to \widehat{ACD}=\widehat{CAB}=\widehat{BCA}$

$\to CA$ là phân giác $\hat C$

Do $AD=BC\to AB=AD\to $Chứng minh tương tự

$\to DB$ là phân giác $\hat D$

$\to \widehat{BCD}+\widehat{BDC}=90^o$

$\to \widehat{BCD}+\dfrac12\widehat{ADC}=90^o$

$\to \widehat{BCD}+\dfrac12\widehat{BCD}=90^o$

$\to \dfrac32\widehat{BCD}=90^o$

$\to \widehat{BCD}=60^o$

$\to \widehat{ADC}=\widehat{BCD}=60^o$

$\to\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=180^o-\widehat{BCD}=120^o$

c.Gọi $AD\cap BC=E$

$\to \widehat{EDC}=\widehat{ADC}=60^o=\widehat{BCD}=\widehat{ECD}$

$\to \Delta ECD$ đều

Mà $DB\perp BC, CA\perp AD\to BD\perp CE, CA\perp DE$

Do $DB\cap CA=O$

$\to O$ đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ECD$

$\to O$ cách đều $ED, EC, CD$

$\to O$ cách đều $AD, BC, CD$