Cm pt `x^{17}+y^{17}=19^{17}` không có nghiệm nguyên dương

Giả sử phương trình $x^{17}+y^{17}=19^{17}$ có nghiệm nguyên. Vì x,y có nghiệm nguyên dương nên không mất tính tổng quát ta giả sử $1\le y\le x\le 19$

Ta có $x^{17}+y^{17} = 19^{17} \geq (x+1)^{17}> x^{17}+17x^{16}$ và $y^{17} >17x^{16} \geq 17y^{16} \Rightarrow y>17$

Từ đó suy ra được $17<y\le x<19\Rightarrow x=y=18$

Thử lại ta thấy $x=y=18$ không thỏa mãn. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương thỏa mãn